Luật số lớn yếu còn được gọi là định lý Khintchine.

Xét n biến ngẫu nhiên X_1, X_2,..., X_n độc lập, cùng phân phối với kỳ vọng E(X), luật số lớn yếu phát biểu rằng, với mọi số thực ϵ {\displaystyle \epsilon } dương, xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy Y n = X 1 + X 2 + . . . + X n n {\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}} và kỳ vọng E(X) lớn hơn ϵ {\displaystyle \epsilon } là tiến về 0 khi n tiến về vô cực.

lim n → + ∞ P ( | X 1 + X 2 + . . . + X n n − E ( X ) | ≥ ϵ ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geq \epsilon \right)=0}

Phát biểu được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev sau đây của Tchebychev:

P ( | Y − E ( Y ) | ≥ ϵ ) ≤ V ( Y ) ϵ 2 {\displaystyle P(|Y-E(Y)|\geq \epsilon )\leq {\frac {V(Y)}{\epsilon ^{2}}}}

Ta có biến ngẫu nhiên Y n = X 1 + X 2 + . . . + X n n {\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}} có kỳ vọng

E ( Y n ) = n E ( X ) n = E ( X ) {\displaystyle E(Y_{n})={\frac {nE(X)}{n}}=E(X)}

và phương sai

V ( Y n ) = n V ( X ) n 2 = V ( X ) n {\displaystyle V(Y_{n})={\frac {nV(X)}{n^{2}}}={\frac {V(X)}{n}}}

từ bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev, ta có:

P ( | X 1 + X 2 + . . . + X n n − E ( X ) | ≥ ϵ ) ≤ V ( X ) n ϵ 2 {\displaystyle P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}-E(X)\right|\geq \epsilon \right)\leq {\frac {V(X)}{n\epsilon ^{2}}}}

Vế phải tiến về 0 khi n tiến về vô cực, định lý được chứng minh.

Theo định nghĩa hội tụ của biến ngẫu nhiên thì Y n {\displaystyle Y_{n}} hội tụ theo xác suất về E(X).